Pädagogische Hochschule Freiburg

Variationen zum Satz des Pythagoras und zum Goldenen Schnitt

von Hartmut Müller-Sommer
Name der Institution: Liebfrauenschule Vechta
Art des Beitrags: Poster

Die Posterserie „Variationen zum Satz des Pythagoras“ (Poster 1 – 7) zeigt, dass Variationen der pythagoreischen Gleichung einen spielerisch-kreativen Zugang zu höheren Kurven eröffnen.
Das Poster 8 stellt neue Zusammenhänge zwischen dem goldenen Schnitt und der goldenen Spirale dar.

Die Poster 1 – 5 gehen von der gleichen Ausgangsfrage aus: Auf welcher Ortskurve liegt der Dreieckspunkt C, wenn nicht die übliche pythagoreische Gleichung a^2 + b^2 = c^2, sondern eine Variation dieser Gleichung erfüllt werden soll?
Auf den Postern sind jeweils die Punkte A und B fest vorgegeben. Dargestellt sind die Ortskurven und die Flächenaussagen der jeweiligen Variationsgleichung.
Die Poster 6 und 7 zeigen, dass auch die Begriffsbildung „pythagoreisches Vieleck“ zu überraschenden Ergebnissen führt.

Poster 1:
Die Variationsgleichung a^2 + 2b^2 = c^2  führt auf einen Kreis mit dem Durchmesser 2/3c. Dieser Kreis liegt innerhalb des Thaleskreises über AB und geht durch den Punkt A.

Poster 2:
Auch die Variationsgleichung a^2 + 1/4b^2 = c^2  liefert einen Kreis als Ortskurve. Er hat den Durchmesser 8/5c, geht ebenfalls durch den Punkt A und umschließt den Thaleskreis über AB. Dargestellt ist eine ganzzahlige Realisierung der Variationsgleichung.

Poster 3:
Man erhält als Ortskurve die Trisektrix von MACLAURIN, wenn man von der Variationsgleichung a^2 + ab = c^2 ausgeht. COLIN MACLAURIN (1689 – 1746) untersuchte erstmals diese Kurve und setzte sie zur Winkeldreiteilung ein.

Poster 4:
Die Variationsgleichung a^2 + 2b = c^2  führt auf eine PASCALsche Schnecke, benannt nach ihrem Entdecker ETIENNE PASCAL (1588 - 1651).

Poster 5:
Die Variationsgleichungen k • ab = c^2 (k >0) liefern einen „pythagoreischen“ Zugang zu den CASSINIschen Kurven. Sie sind benannt nach JEAN DOMINIQUE CASSINI (1625-1712). Dargestellt sind die Fälle k = 1, 2, 3, 4 und 5. Für k = 4 erhält man die BERNOULLIsche Lemniskate.

Poster 6:
Dieses Poster zeigt die Realisierung eines „pythagoreischen Fünfecks“. Liegt der Punkt C auf dem Thaleskreis über AB, der Punkt D auf einer Kardioide und der Punkt E auf einer CAYLEYschen Sextik, so gilt für das so gebildete Fünfeck a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = e^2
mit e = |AB|. Dabei ist die Kardioide die Lotfußpunktkurve des Thaleskreises und die CAYLEYschen Sextik die Lotfußpunktkurve dieser Kardioide bezüglich des Punktes A.

Poster 7:
Dargestellt ist ein pythagoreisches 26-Eck: Die Summe der Flächeninhalte aller hellblauen Quadrate ist so groß wie der Flächeninhalt des großen dunkelblauen Quadrates. Auch hier liegen die Eckpunkte An jeweils auf einer Lotfußpunktkurve. (Für den Punkt B wurde hier die Bezeichnung A0 gewählt.) Die Eckpunkte An der pythagoreischen Vielecke liegen (bei festem Punkt A1) auf einer logarithmischen Spirale, die sich um den Pol A windet.

Poster 8:
In der Literatur zum goldenen Schnitt werden oft Spiralen erwähnt. Ein engerer Zusammen-hang zum goldenen Schnitt wird aber nicht beschrieben. Löst man sich jedoch von der Vorstellung einer bestimmten Art der Streckenteilung und überträgt den goldenen Schnitt auf Bogenlängen von Kurvenstücken und auf Flächen, so erhält man neue und überraschende Ergebnisse, die m. E. bisher übersehen wurden. Am Beispiel der goldenen Spirale, die häufig im Zusammenhang mit goldenen Rechtecken auftaucht, werden diese Ergebnisse präsentiert. Das Poster zeigt, warum die goldene Spirale wirklich golden ist!

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